Si la parte real o/y la parte imaginaria son variables, el numero complejo se denomina variable compleja. En la transformada de Laplace, usamos la notación s como una variable compleja esto es:
s=o+jw
donde o es la parte real y w es la parte imaginaria
Numero complejo en su forma polar:
Un número complejo en su forma polar consta de dos componentes: módulo y argumento
El módulo esta definido por z:
z = |raíz(a² + b²)|
y el argumento es designado por arg(z):
a = arctg(b/a)
Representacion gráfica de un numero complejo
Una función compleja F(s): tiene una función real y una función imaginaria
F(s) = F, + jFy
donde F, y Fy son cantidades reales. La magnitud de F(S) es m, y el ángulo θ de F(s) es tan-l(F,lF,). El ángulo θ se mide en sentido opuesto al movimiento de las manecillas del reloj, a partir del eje real positivo.
El complejo conjugado de F(S ) es F(s) = F, - jFy
Las funciones complejas que por lo general se encuentran en el análisis de sistemas de control lineales son funciones individuales de s y se determinan en forma única para un determinado valor de s.
Se dice que una función compleja G(s) es analítica en una región si G(s) y todas sus derivadas existen en tal región. La derivada de la función analítica G(s) se obtiene mediante:
Dado de As = Aa+ jAw, As puede tender a cero a lo largo de una cantidad infinita de trayectorias diferentes. Es posible demostrar, pero aquí se plantea sin una comprobación, que si son iguales las derivadas que se toman a lo largo de dos trayectorias determinadas, esto es, As = Ao y As = jhw, la derivada es única para cualquier otra trayectoria As = Aa + jAo y, poy tanto, la derivada existe.
Para una trayectoria determinada As = Aa (lo que significa que la trayectoria está sobre el eje real),
A continuación hablaremos sobre demostraciones con Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Estas ecuaciones son dos ecuaciones diferenciales parciales además que son básicas para el análisis de funciones complejas y números complejos Devida al tipo de vinificación pero no necesariamente afuerzas o suficiente.
Se dice que teniendo una función compleja se puede decomponer en dos funciones reales con dos variables. Si la función es deribable en un punto es necesario verificarla con las ecuaciones de Cauchy-Riemann
Por ejemplo tenemos la siguiente función =
f(x) = x² -3
Recordamos que i es igual a la raíz de -1
lo verificamoes en z = (x + yi) "numero complejo"
G(x + yi) = (x + yi)² - 3 = (x² + 2xyi + y²( - 1)) - 3
Real = x² - y² -3 y la parte imaginaria seria 2xy
Con respecto a x
Real = 2x Imaginaria = 2y
Con respecto a y
Real = -2y Imaginaria = 2x
Ahora derivamos la función compleja y verifiquemos si sale igual
Con respecto a x
Sustituimos en x
G'(x + yi) = 2(x + yi) = 2x + 2yi = dx + idx = dy - idy
Si sustituimos se vería algo asi:
G'(x + yi) = 2(x + yi) = 2x + 2yi = 2x + 2y = 2x - (-2y)
Sustituimos por las derivadas de los componentes anteriormente creadas y se comprueba que esto es una función analítica
Algo extra. En este apartaro diremos como se gráfica un número real e imaginario en gnuplot:
plot real( exp(x*{0,1}) ), imag( exp(x*{0,1}) )
Este ejemplo viene en la guia de gnuplot en las referencias y vienen comando muy útiles
En este caso los "{}" indican que es un número complejo es decir z = {0,1}
es igual a z = 0 + 1
es igual a z = 0 + 1
En esta ocación era una función exponencial evaluada para un argumento imaginario ya mensionado anteriormente:
Referencias: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cursoJava/numerico/complejo/complejo.htm
Libro de ingenieria de control moderna 3 ed
http://www.ditutor.com/numeros_complejos/complejos_polar.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Cauchy-Riemann
Guia d gnuplot: http://www.fismat.umich.mx/computacion/computacion1/guias/ejemplos_gnuplot.pdf
